SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI INVERS

teorema: setiap transformasi T memiliki balikan.
bukti:
andaikan T suatu transformasi.

kita definisikan fungsi L sebagai berikut:

andaikan X di V dengan V adalah sebuah bidang.

oleh karena T suatu transformasi, maka T adalah bijektif.

jadi ada prapeta A di V sehingga T(A) = X

kita tentukan kemudian L(X) = A.

artinya L(X) adalah prapeta dari X.

sehingga dari T(A) = X => T[L(X)] = X.

atau (TL)(X) = I(X), untuk semua X di V.

ini berarti TL = I

selanjutnya (LT)(X) = L[(TX)]

andaikan T(X) = B maka L(B) = X, jadi L[T(X)] = L(B) = X.

jadi pula (LT)(X) = X = I(X), untuk semua X di V

jadi LT = I

sehingga TL = LT = I

sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi.
dari definisi L jelas L suatu padanan yang surjektif.

andaikan L(X1) = L(X2) dan andaikan T(A1) = X1, T(A2) = X2 dengan L(X1) = A1 dan L(X2) = A2.

oleh karena T suatu transformasi maka karena A1 = A2 kita peroleh X1 = X2.
jadi dari L(X1) = L(X2) => X1 = X2

sehingga L injektif.

dengan demikian terbukti bahwa L bijektif.

jadi L suatu transformasi.

transformasi L ini disebut balikan dari transformasi T